K.2 – Partieel integreren

Je ziet een product van twee factoren. Eén factor differentieer je, de andere primitiveer je. Eén ronde oefen je in K.2 A, twee rondes in K.2 B.

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Tik de vorm aan die bij jouw integraal past. Daarna doe je stap 1, 2 en 3.

Eén ronde is genoeg

Je moet nog een keer

Stap 1, 2 en 3 per route

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Partieel $\int g (x) \cdot h^{'} (x) d x = g (x) \cdot h (x) - \int h (x) \cdot g^{'} (x) d x$	Noem de factor die je differentieert $g$ en de factor die je primitiveert $h^{'}$ . Bepaal $g^{'}$ en $h$ .	Vul de regel in. De integraal die overblijft moet makkelijker zijn dan waar je mee begon.	Reken die integraal uit. Is het nog een product, doe dan nog een ronde met dezelfde keuze. Zet $+ c$ en differentieer ter controle.

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Partieel

$\int g (x) \cdot h^{'} (x) d x = g (x) \cdot h (x) - \int h (x) \cdot g^{'} (x) d x$

Noem de factor die je differentieert

g

en de factor die je primitiveert

h^{'}

. Bepaal

g^{'}

h

Vul de regel in. De integraal die overblijft moet makkelijker zijn dan waar je mee begon.

Reken die integraal uit. Is het nog een product, doe dan nog een ronde met dezelfde keuze. Zet

+ c

en differentieer ter controle.

Wordt de nieuwe integraal juist moeilijker? Dan staan $g$ en $h^{'}$ verkeerd om. Begin opnieuw met de andere keuze. Een getal mag je naar voren halen.

Deel 2 · Bereken de integraal

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ x sin(2x) dx → -(1/2) x cos(2x)+(1/4) sin(2x)+c

Alleen deel 2: de opgave vraagt een primitieve. De buitenste schil is een veelterm maal een sinus.
De veelterm wordt eenvoudiger als je hem differentieert, de sinus niet. Dus g(x)=x en h'(x)=sin(2x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=-(1/2) cos(2x).
De regel geeft -(1/2) x cos(2x)-∫ -(1/2) cos(2x) dx. Twee mintekens worden een plus: -(1/2) x cos(2x)+(1/2)∫ cos(2x) dx.
∫ cos(2x) dx=(1/2) sin(2x), dus (1/2)·(1/2) sin(2x)=(1/4) sin(2x). Het antwoord is -(1/2) x cos(2x)+(1/4) sin(2x)+c. Terugdifferentiëren: -(1/2) cos(2x)+x sin(2x)+(1/2) cos(2x)=x sin(2x).

Een veelterm differentieer je. Een sinus, een cosinus of een e-macht primitiveer je.

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c. Het domein is x>0.

∫ x ln(x) dx → (1/2) x² ln(x)-(1/4) x²+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een veelterm maal een logaritme. Een ln kun je niet zomaar primitiveren, wel differentiëren.
Dus g(x)=ln(x) en h'(x)=x. Dan is g'(x)=(1/x) en h(x)=(1/2) x².
De regel geeft (1/2) x² ln(x)-∫ (1/2) x²·(1/x) dx=(1/2) x² ln(x)-(1/2)∫ x dx.
Dat is (1/2) x² ln(x)-(1/4) x²+c. Terugdifferentiëren: x ln(x)+(1/2) x-(1/2) x=x ln(x).

Staat er alleen een ln, zonder factor ervoor? Schrijf hem als 1· ln(x) en primitiveer de 1.

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ x² e^(3x) dx → (1/3) x² e^(3x)-(2/9) x e^(3x)+(2/27) e^(3x)+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een kwadraat maal een e-macht. Eén ronde haalt de graad maar één omlaag, dus je doet het twee keer.
Eerste ronde: g(x)=x² en h'(x)=e^(3x). Dan is g'(x)=2x en h(x)=(1/3) e^(3x).
Dat geeft (1/3) x² e^(3x)-(2/3)∫ x e^(3x) dx. Zelfde keuze nog een keer: nu is g(x)=x, dus ∫ x e^(3x) dx=(1/3) x e^(3x)-(1/9) e^(3x).
Invullen: (1/3) x² e^(3x)-(2/3)((1/3) x e^(3x)-(1/9) e^(3x))+c=(1/3) x² e^(3x)-(2/9) x e^(3x)+(2/27) e^(3x)+c. Terugdifferentiëren van het eerste stuk geeft x² e^(3x)+(2/3) x e^(3x), van het tweede -(2/3) x e^(3x)-(2/9) e^(3x), van het derde (2/9) e^(3x). Samen blijft x² e^(3x).

Houd in de tweede ronde dezelfde soort factor aan: steeds de e-macht of de gonio primitiveren, steeds de veelterm differentiëren.

Bij een e-macht maal een sinus of een cosinus wordt geen van beide factoren eenvoudiger. Na twee rondes met dezelfde keuze komt de oorspronkelijke integraal terug. Noem hem I en los de vergelijking op.

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Partieel $\int g (x) \cdot h^{'} (x) d x = g (x) \cdot h (x) - \int h (x) \cdot g^{'} (x) d x$	Noem de factor die je differentieert $g$ en de factor die je primitiveert $h^{'}$ . Bepaal $g^{'}$ en $h$ .	Vul de regel in. De integraal die overblijft moet makkelijker zijn dan waar je mee begon.	Reken die integraal uit. Is het nog een product, doe dan nog een ronde met dezelfde keuze. Zet $+ c$ en differentieer ter controle.

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Partieel

$\int g (x) \cdot h^{'} (x) d x = g (x) \cdot h (x) - \int h (x) \cdot g^{'} (x) d x$

Noem de factor die je differentieert

g

en de factor die je primitiveert

h^{'}

. Bepaal

g^{'}

h

Vul de regel in. De integraal die overblijft moet makkelijker zijn dan waar je mee begon.

Reken die integraal uit. Is het nog een product, doe dan nog een ronde met dezelfde keuze. Zet

+ c

en differentieer ter controle.

Deel 2 · Bereken de integraal

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ x sin(2x) dx → -(1/2) x cos(2x)+(1/4) sin(2x)+c

Alleen deel 2: de opgave vraagt een primitieve. De buitenste schil is een veelterm maal een sinus.
De veelterm wordt eenvoudiger als je hem differentieert, de sinus niet. Dus g(x)=x en h'(x)=sin(2x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=-(1/2) cos(2x).
De regel geeft -(1/2) x cos(2x)-∫ -(1/2) cos(2x) dx. Twee mintekens worden een plus: -(1/2) x cos(2x)+(1/2)∫ cos(2x) dx.
∫ cos(2x) dx=(1/2) sin(2x), dus (1/2)·(1/2) sin(2x)=(1/4) sin(2x). Het antwoord is -(1/2) x cos(2x)+(1/4) sin(2x)+c. Terugdifferentiëren: -(1/2) cos(2x)+x sin(2x)+(1/2) cos(2x)=x sin(2x).

Een veelterm differentieer je. Een sinus, een cosinus of een e-macht primitiveer je.

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c. Het domein is x>0.

∫ x ln(x) dx → (1/2) x² ln(x)-(1/4) x²+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een veelterm maal een logaritme. Een ln kun je niet zomaar primitiveren, wel differentiëren.
Dus g(x)=ln(x) en h'(x)=x. Dan is g'(x)=(1/x) en h(x)=(1/2) x².
De regel geeft (1/2) x² ln(x)-∫ (1/2) x²·(1/x) dx=(1/2) x² ln(x)-(1/2)∫ x dx.
Dat is (1/2) x² ln(x)-(1/4) x²+c. Terugdifferentiëren: x ln(x)+(1/2) x-(1/2) x=x ln(x).

Staat er alleen een ln, zonder factor ervoor? Schrijf hem als 1· ln(x) en primitiveer de 1.

∫ g(x)· h'(x) dx = g(x)· h(x)-∫ h(x)· g'(x) dx

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ x² e^(3x) dx → (1/3) x² e^(3x)-(2/9) x e^(3x)+(2/27) e^(3x)+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een kwadraat maal een e-macht. Eén ronde haalt de graad maar één omlaag, dus je doet het twee keer.
Eerste ronde: g(x)=x² en h'(x)=e^(3x). Dan is g'(x)=2x en h(x)=(1/3) e^(3x).
Dat geeft (1/3) x² e^(3x)-(2/3)∫ x e^(3x) dx. Zelfde keuze nog een keer: nu is g(x)=x, dus ∫ x e^(3x) dx=(1/3) x e^(3x)-(1/9) e^(3x).
Invullen: (1/3) x² e^(3x)-(2/3)((1/3) x e^(3x)-(1/9) e^(3x))+c=(1/3) x² e^(3x)-(2/9) x e^(3x)+(2/27) e^(3x)+c. Terugdifferentiëren van het eerste stuk geeft x² e^(3x)+(2/3) x e^(3x), van het tweede -(2/3) x e^(3x)-(2/9) e^(3x), van het derde (2/9) e^(3x). Samen blijft x² e^(3x).

Houd in de tweede ronde dezelfde soort factor aan: steeds de e-macht of de gonio primitiveren, steeds de veelterm differentiëren.

K.2 – Partieel integreren

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Deel 2 · Bereken de integraal

Een veelterm maal een gonio of een e-macht

Een logaritme

Twee rondes

K.2 – Partieel integreren

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Deel 2 · Bereken de integraal

Een veelterm maal een gonio of een e-macht

Een logaritme

Twee rondes