K.1 – De substitutiemethode

Je ziet een binnenfunctie $g$ en zijn afgeleide $g^{'}$ naast elkaar. Dan primitiveer je alleen de buitenkant $f$ . De basis oefen je in K.1 A, de toepassingen in K.1 B.

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Tik de vorm aan die bij jouw integraal past. Daarna doe je stap 1, 2 en 3.

De afgeleide staat al naast de binnenfunctie

Eerst een verhaaltje, dan dezelfde truc

Stap 1, 2 en 3 per route

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Substitutie $\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c$	Kies de kern $g$ en bereken $g^{'}$ .	Schrijf de factor ervoor als een getal maal $g^{'}$ . Dan is $g^{'} d x$ hetzelfde als $d (g)$ .	Primitiveer alleen de buitenkant $f$ naar $g$ . Schrijf $g$ terug, zet $+ c$ en differentieer ter controle.

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Substitutie

$\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c$

Kies de kern

g

en bereken

g^{'}

Schrijf de factor ervoor als een getal maal

g^{'}

. Dan is

g^{'} d x

hetzelfde als

d (g)

Primitiveer alleen de buitenkant

f

naar

g

. Schrijf

g

terug, zet

+ c

en differentieer ter controle.

Past de factor niet bij $g^{'}$ ? Dan hoort deze integraal niet bij de substitutiemethode. Een getal mag je naar voren halen; een factor waar nog $x$ in zit, niet.

Deel 2 · Bereken de integraal

∫ f(g(x))· g'(x) dx = F(g(x))+c

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ 10x(2x²-1)⁴ dx → (1/2)(2x²-1)⁵+c

Alleen deel 2: de opgave vraagt een primitieve. De buitenste schil is een macht, en ervoor staat een factor met x.
De kern is g(x)=2x²-1. Dan is g'(x)=4x. De buitenkant is f(g)=g⁴.
10x is (5/2) keer 4x, dus (5/2) keer g'(x). De integraal wordt (5/2)∫ g⁴ dg.
(5/2)·(1/5) g⁵+c=(1/2)(2x²-1)⁵+c. Terugdifferentiëren geeft (1/2)· 5(2x²-1)⁴· 4x=10x(2x²-1)⁴.

De kern g is wat ín de macht staat, niet de macht zelf.

∫ (g'(x))/(g(x)) dx = ln|g(x)|+c

Antwoordvorm: De strepen van de absolute waarde horen erbij, want een logaritme wil een positief getal.

∫ (3x²+2)/(x³+2x) dx → ln|x³+2x|+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een breuk: in de teller staat precies de afgeleide van de noemer.
De kern is g(x)=x³+2x. Dan is g'(x)=3x²+2. De buitenkant is f(g)=(1/g).
De teller is precies g'(x), dus de integraal is ∫ (1/g) dg.
Dat is ln|g|+c=ln|x³+2x|+c. Terugdifferentiëren geeft (3x²+2)/(x³+2x).

Staat er een extra getal in de teller, bijvoorbeeld 6x² terwijl g'=3x²? Haal dat getal naar voren en ga daarna hetzelfde te werk.

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

O(V)=∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Bij een oppervlakte geef je een exact getal, zonder +c.

∫ van 0 tot 1 6x e^(x²+1) dx → 3e(e-1)

Deel 1 — het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de lijnen x=0 en x=1 is O(V)=∫ van 0 tot 1 6x e^(x²+1) dx. Op dat stuk is f(x) nul of positief.
Deel 2, stap 1 — de kern is g(x)=x²+1, want die staat in de exponent. Dan is g'(x)=2x.
Deel 2, stap 2 — 6x=3· 2x, dus 3 keer g'(x). De integraal wordt 3∫ e^(g) dg.
Deel 2, stap 3 — een primitieve is F(x)=3e^(x²+1). Terugdifferentiëren: 3e^(x²+1)· 2x=6x e^(x²+1).
Deel 3 — F(1)-F(0)=3e²-3e=3e(e-1).

Deel 1 is het zinnetje uit de opgave omzetten naar een integraal. Deel 2 is de substitutie. Deel 3 is de grenzen invullen en het antwoord exact laten staan.

Bij een kale "primitiveer" of "bereken exact" sla je deel 1 over. Deel 3 is dan alleen: +c zetten, of de grenzen invullen.

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Substitutie $\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c$	Kies de kern $g$ en bereken $g^{'}$ .	Schrijf de factor ervoor als een getal maal $g^{'}$ . Dan is $g^{'} d x$ hetzelfde als $d (g)$ .	Primitiveer alleen de buitenkant $f$ naar $g$ . Schrijf $g$ terug, zet $+ c$ en differentieer ter controle.

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Substitutie

$\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c$

Kies de kern

g

en bereken

g^{'}

Schrijf de factor ervoor als een getal maal

g^{'}

. Dan is

g^{'} d x

hetzelfde als

d (g)

Primitiveer alleen de buitenkant

f

naar

g

. Schrijf

g

terug, zet

+ c

en differentieer ter controle.

Deel 2 · Bereken de integraal

∫ f(g(x))· g'(x) dx = F(g(x))+c

Antwoordvorm: Een primitieve eindigt op +c.

∫ 10x(2x²-1)⁴ dx → (1/2)(2x²-1)⁵+c

Alleen deel 2: de opgave vraagt een primitieve. De buitenste schil is een macht, en ervoor staat een factor met x.
De kern is g(x)=2x²-1. Dan is g'(x)=4x. De buitenkant is f(g)=g⁴.
10x is (5/2) keer 4x, dus (5/2) keer g'(x). De integraal wordt (5/2)∫ g⁴ dg.
(5/2)·(1/5) g⁵+c=(1/2)(2x²-1)⁵+c. Terugdifferentiëren geeft (1/2)· 5(2x²-1)⁴· 4x=10x(2x²-1)⁴.

De kern g is wat ín de macht staat, niet de macht zelf.

∫ (g'(x))/(g(x)) dx = ln|g(x)|+c

Antwoordvorm: De strepen van de absolute waarde horen erbij, want een logaritme wil een positief getal.

∫ (3x²+2)/(x³+2x) dx → ln|x³+2x|+c

Alleen deel 2. De buitenste schil is een breuk: in de teller staat precies de afgeleide van de noemer.
De kern is g(x)=x³+2x. Dan is g'(x)=3x²+2. De buitenkant is f(g)=(1/g).
De teller is precies g'(x), dus de integraal is ∫ (1/g) dg.
Dat is ln|g|+c=ln|x³+2x|+c. Terugdifferentiëren geeft (3x²+2)/(x³+2x).

Staat er een extra getal in de teller, bijvoorbeeld 6x² terwijl g'=3x²? Haal dat getal naar voren en ga daarna hetzelfde te werk.

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

O(V)=∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Bij een oppervlakte geef je een exact getal, zonder +c.

∫ van 0 tot 1 6x e^(x²+1) dx → 3e(e-1)

Deel 1 — het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de lijnen x=0 en x=1 is O(V)=∫ van 0 tot 1 6x e^(x²+1) dx. Op dat stuk is f(x) nul of positief.
Deel 2, stap 1 — de kern is g(x)=x²+1, want die staat in de exponent. Dan is g'(x)=2x.
Deel 2, stap 2 — 6x=3· 2x, dus 3 keer g'(x). De integraal wordt 3∫ e^(g) dg.
Deel 2, stap 3 — een primitieve is F(x)=3e^(x²+1). Terugdifferentiëren: 3e^(x²+1)· 2x=6x e^(x²+1).
Deel 3 — F(1)-F(0)=3e²-3e=3e(e-1).

Deel 1 is het zinnetje uit de opgave omzetten naar een integraal. Deel 2 is de substitutie. Deel 3 is de grenzen invullen en het antwoord exact laten staan.

Bij een kale "primitiveer" of "bereken exact" sla je deel 1 over. Deel 3 is dan alleen: +c zetten, of de grenzen invullen.

K.1 – De substitutiemethode

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Deel 2 · Bereken de integraal

Een macht van de kern

De afgeleide gedeeld door de kern

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

Er staat een verhaaltje in plaats van een kale integraal

K.1 – De substitutiemethode

Stap 0 · Welke vorm is dit?

Deel 2 · Bereken de integraal

Een macht van de kern

De afgeleide gedeeld door de kern

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

Er staat een verhaaltje in plaats van een kale integraal