Oppervlakte

Oefen met substitutie Oefen met partieel integreren

Eerst maak je van het verhaaltje een integraal. Daarna reken je die uit, met de substitutiemethode of met partieel integreren.

Stap 0 · Welk vlakdeel is dit?

Tik het vlakdeel aan dat bij jouw opgave past. Daarna doe je stap 1, 2 en 3.

De grafiek en de $x$ -as

Twee grafieken

De oppervlakte is gegeven

Stap 1, 2 en 3 per route

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Oppervlakte $O (V) = \int_{a}^{b} f (x) d x$	Schrijf de integraal. Ligt de grafiek boven de $x$ -as, dan is dat $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Ligt hij eronder, dan zet je er een min voor. Bij twee grafieken zoek je eerst de snijpunten en neem je boven min onder.	Primitiveer. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.	Vul de grenzen in. Is de uitkomst negatief, dan is de oppervlakte het tegengestelde. Vraagt de opgave om $p$ , los de vergelijking exact op. Zet geen $+ c$ .

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Oppervlakte

$O (V) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schrijf de integraal. Ligt de grafiek boven de

x

-as, dan is dat

\int_{a}^{b} f (x) d x

. Ligt hij eronder, dan zet je er een min voor. Bij twee grafieken zoek je eerst de snijpunten en neem je boven min onder.

Primitiveer. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.

Vul de grenzen in. Is de uitkomst negatief, dan is de oppervlakte het tegengestelde. Vraagt de opgave om

p

, los de vergelijking exact op. Zet geen

+ c

Een oppervlakte is een positief getal. De integraal zelf mag negatief zijn; dan neem je het tegengestelde. Rond niet af.

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

O(V)=∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=4x(x²+1)²:\ oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en x=1 → (14/3)

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0 en ligt tussen 0 en 1 erboven, want 4x en (x²+1)² zijn daar allebei nul of positief. De oppervlakte is O(V)=∫ van 0 tot 1 4x(x²+1)² dx.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1, dus g'(x)=2x. Er staat 4x=2· g'(x). Dat is de substitutiemethode: ∫ 2g² dg=(2/3)g³.
Een primitieve is F(x)=(2/3)(x²+1)³. Terugdifferentiëren: (2/3)· 3(x²+1)²· 2x=4x(x²+1)².
Deel 3 — F(1)-F(0)=(2/3)· 8-(2/3)· 1=(16/3)-(2/3)=(14/3).

Noemt de opgave maar één lijn, bijvoorbeeld x=1? De andere grens is dan het nulpunt op de x-as.

O(V)=-∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=(x-1)e^(x):\ oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en de y-as → e-2

Deel 1 — e^(x) is nooit nul, dus het nulpunt is x=1. De y-as is de lijn x=0. Tussen 0 en 1 is x-1 negatief, dus de grafiek ligt onder de x-as. De oppervlakte is -∫ van 0 tot 1(x-1)e^(x) dx.
Deel 2 — een veelterm maal een e-macht: partieel integreren. Neem g(x)=x-1 en h'(x)=e^(x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=e^(x).
De regel geeft (x-1)e^(x)-∫ e^(x) dx=(x-2)e^(x). Terugdifferentiëren: e^(x)+(x-2)e^(x)=(x-1)e^(x).
Deel 3 — [(x-2)e^(x)] van 0 tot 1=-e-(-2)=2-e. Dat is negatief. De oppervlakte is het tegengestelde: e-2.

Een integraal onder de x-as komt negatief uit. De oppervlakte is dat getal zonder het minteken.

O(V)=∫ van a tot b(boven-onder) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=(ln²(x))/x,\ h(x)=(1/x):\ oppervlakte tussen de grafieken → (4/3)

Deel 1 — beide functies bestaan alleen voor x>0. Snijpunten: (ln²(x))/x=(1/x) geeft ln²(x)=1, dus ln(x)=1 of ln(x)=-1, en x=e of x=e⁻¹. Bij x=1 is f(1)=0 en h(1)=1, dus h ligt erboven. De oppervlakte is de integraal van (1/x)-(ln²(x))/x, van x=e⁻¹ tot x=e.
Deel 2 — haal (1/x) voorop: (1-ln²(x))·(1/x). De kern is g(x)=ln(x) met g'(x)=(1/x). Dat is de substitutiemethode.
∫(1-g²) dg=g-(1/3)g³. Bij x=e⁻¹ hoort g=-1, bij x=e hoort g=1.
Deel 3 — [g-(1/3)g³] van -1 tot 1=(1-(1/3))-(-1+(1/3))=(2/3)-(-(2/3))=(4/3).

Eerst de snijpunten. Daartussen vul je één x-waarde in om te zien welke grafiek boven ligt.

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

∫ van 0 tot p f(x) dx=ln(5)

Antwoordvorm: Je geeft p exact, niet afgerond.

f(x)=2x/(x²+1),\ O(V)=ln(5),\ p>0,\ tussen de grafiek, de x-as en x=p → p=2

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0 en ligt voor x>0 erboven. De oppervlakte is ∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx, en die moet ln(5) worden.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1 en de teller is g'(x)=2x. Substitutiemethode: F(x)=ln(x²+1). Terugdifferentiëren geeft 2x/(x²+1).
Deel 3 — [ln(x²+1)] van 0 tot p=ln(p²+1)-ln(1)=ln(p²+1).
Uit ln(p²+1)=ln(5) volgt p²+1=5, dus p²=4. Omdat p>0 is p=2.

Deel 3 is de vergelijking. Een logaritme haal je weg door beide kanten als macht van e te lezen: uit ln(A)=ln(B) volgt A=B.

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Oppervlakte $O (V) = \int_{a}^{b} f (x) d x$	Schrijf de integraal. Ligt de grafiek boven de $x$ -as, dan is dat $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Ligt hij eronder, dan zet je er een min voor. Bij twee grafieken zoek je eerst de snijpunten en neem je boven min onder.	Primitiveer. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.	Vul de grenzen in. Is de uitkomst negatief, dan is de oppervlakte het tegengestelde. Vraagt de opgave om $p$ , los de vergelijking exact op. Zet geen $+ c$ .

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Oppervlakte

$O (V) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schrijf de integraal. Ligt de grafiek boven de

x

-as, dan is dat

\int_{a}^{b} f (x) d x

. Ligt hij eronder, dan zet je er een min voor. Bij twee grafieken zoek je eerst de snijpunten en neem je boven min onder.

Primitiveer. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.

Vul de grenzen in. Is de uitkomst negatief, dan is de oppervlakte het tegengestelde. Vraagt de opgave om

p

, los de vergelijking exact op. Zet geen

+ c

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

O(V)=∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=4x(x²+1)²:\ oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en x=1 → (14/3)

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0 en ligt tussen 0 en 1 erboven, want 4x en (x²+1)² zijn daar allebei nul of positief. De oppervlakte is O(V)=∫ van 0 tot 1 4x(x²+1)² dx.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1, dus g'(x)=2x. Er staat 4x=2· g'(x). Dat is de substitutiemethode: ∫ 2g² dg=(2/3)g³.
Een primitieve is F(x)=(2/3)(x²+1)³. Terugdifferentiëren: (2/3)· 3(x²+1)²· 2x=4x(x²+1)².
Deel 3 — F(1)-F(0)=(2/3)· 8-(2/3)· 1=(16/3)-(2/3)=(14/3).

Noemt de opgave maar één lijn, bijvoorbeeld x=1? De andere grens is dan het nulpunt op de x-as.

O(V)=-∫ van a tot b f(x) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=(x-1)e^(x):\ oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en de y-as → e-2

Deel 1 — e^(x) is nooit nul, dus het nulpunt is x=1. De y-as is de lijn x=0. Tussen 0 en 1 is x-1 negatief, dus de grafiek ligt onder de x-as. De oppervlakte is -∫ van 0 tot 1(x-1)e^(x) dx.
Deel 2 — een veelterm maal een e-macht: partieel integreren. Neem g(x)=x-1 en h'(x)=e^(x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=e^(x).
De regel geeft (x-1)e^(x)-∫ e^(x) dx=(x-2)e^(x). Terugdifferentiëren: e^(x)+(x-2)e^(x)=(x-1)e^(x).
Deel 3 — [(x-2)e^(x)] van 0 tot 1=-e-(-2)=2-e. Dat is negatief. De oppervlakte is het tegengestelde: e-2.

Een integraal onder de x-as komt negatief uit. De oppervlakte is dat getal zonder het minteken.

O(V)=∫ van a tot b(boven-onder) dx

Antwoordvorm: Een oppervlakte is een positief exact getal, zonder +c.

f(x)=(ln²(x))/x,\ h(x)=(1/x):\ oppervlakte tussen de grafieken → (4/3)

Deel 1 — beide functies bestaan alleen voor x>0. Snijpunten: (ln²(x))/x=(1/x) geeft ln²(x)=1, dus ln(x)=1 of ln(x)=-1, en x=e of x=e⁻¹. Bij x=1 is f(1)=0 en h(1)=1, dus h ligt erboven. De oppervlakte is de integraal van (1/x)-(ln²(x))/x, van x=e⁻¹ tot x=e.
Deel 2 — haal (1/x) voorop: (1-ln²(x))·(1/x). De kern is g(x)=ln(x) met g'(x)=(1/x). Dat is de substitutiemethode.
∫(1-g²) dg=g-(1/3)g³. Bij x=e⁻¹ hoort g=-1, bij x=e hoort g=1.
Deel 3 — [g-(1/3)g³] van -1 tot 1=(1-(1/3))-(-1+(1/3))=(2/3)-(-(2/3))=(4/3).

Eerst de snijpunten. Daartussen vul je één x-waarde in om te zien welke grafiek boven ligt.

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

∫ van 0 tot p f(x) dx=ln(5)

Antwoordvorm: Je geeft p exact, niet afgerond.

f(x)=2x/(x²+1),\ O(V)=ln(5),\ p>0,\ tussen de grafiek, de x-as en x=p → p=2

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0 en ligt voor x>0 erboven. De oppervlakte is ∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx, en die moet ln(5) worden.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1 en de teller is g'(x)=2x. Substitutiemethode: F(x)=ln(x²+1). Terugdifferentiëren geeft 2x/(x²+1).
Deel 3 — [ln(x²+1)] van 0 tot p=ln(p²+1)-ln(1)=ln(p²+1).
Uit ln(p²+1)=ln(5) volgt p²+1=5, dus p²=4. Omdat p>0 is p=2.

Deel 3 is de vergelijking. Een logaritme haal je weg door beide kanten als macht van e te lezen: uit ln(A)=ln(B) volgt A=B.

Oppervlakte

Stap 0 · Welk vlakdeel is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grafiek ligt boven de $x$ -as

De grafiek ligt onder de $x$ -as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De oppervlakte is gegeven, zoek $p$

Oppervlakte

Stap 0 · Welk vlakdeel is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grafiek ligt boven de $x$ -as

De grafiek ligt onder de $x$ -as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De oppervlakte is gegeven, zoek $p$

Oppervlakte

Stap 0 · Welk vlakdeel is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grafiek ligt boven de x-as

De grafiek ligt onder de x-as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De oppervlakte is gegeven, zoek p

Oppervlakte

Stap 0 · Welk vlakdeel is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grafiek ligt boven de x-as

De grafiek ligt onder de x-as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De oppervlakte is gegeven, zoek p

De grafiek ligt boven de $x$ -as

De grafiek ligt onder de $x$ -as

De oppervlakte is gegeven, zoek $p$

De grafiek ligt boven de $x$ -as

De grafiek ligt onder de $x$ -as

De oppervlakte is gegeven, zoek $p$