De grafiek ligt onder de x-as

Uitwerking

$f(x)=x-2.\text{Oppervlakte tussen de grafiek en de }x\text{-as, van }x=0\text{ tot }x=2.$

1. Stap 0

   Deel 1: $f(x)=x-2$ snijdt de $x$-as bij $x=2$. Op $[0,2]$ is $f(x)\le 0$, want $f(0)=-2$. De grafiek ligt dus op of onder de $x$-as. De oppervlakte is het tegengestelde van de integraal: $-{\int }_0^2(x-2)dx$, en dat is ${\int }_0^2(2-x)dx$. Deel 2 rekent de integraal uit. Deel 3 maakt van een negatieve uitkomst een positieve oppervlakte.

2. Stap 1

   Deel 2: een primitieve van $x-2$ is $\frac{1}{2}{x}^2-2x$. ${\left[\frac{1}{2}{x}^2-2x\right]}_0^2=(2-4)-0=-2$. De integraal zelf is $-2$.

3. Stap 2

   Deel 2, voor de oppervlakte: een primitieve van $2-x$ is $2x-\frac{1}{2}{x}^2$. Differentieer die: $2-x$. Dat klopt.

4. Stap 3

   Deel 3: ${\left[2x-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^2=(4-2)-0=2$. Dat is de absolute waarde van $-2$. De oppervlakte is $2$, zonder $+c$.

Zie ook

• Oppervlakte tussen de grafiek en de x-as
• Oppervlakte tussen twee grafieken

Lees de theorie