Oppervlakte tussen de grafiek en de x-as

Uitwerking

$f(x)=4-x^2.\text{Oppervlakte tussen de grafiek en de }x\text{-as, van }x=-2\text{ tot }x=2.$

1. Stap 0

   Deel 1: van het verhaaltje naar de integraal. $f(x)=4-x^2$ is een bergparabool met nulpunten $x=-2$ en $x=2$. De top is $(0,4)$, dus tussen die nulpunten ligt de grafiek op of boven de $x$-as. De oppervlakte is ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$. Deel 2 rekent die integraal uit. Deel 3 vult de grenzen in; er blijft een getal over, geen vergelijking.

2. Stap 1

   Deel 2: een primitieve van $4-x^2$ is $4x-\frac{1}{3}{x}^3$. Differentieer die: $4-x^2$. Dat klopt. De $+c$ laat je weg, die valt bij de grenzen weg.

3. Stap 2

   Deel 2, verder: ${\left[4x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-2}^2$.

4. Stap 3

   Deel 3: $F(2)=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$ en $F(-2)=-8-\left(-\frac{8}{3}\right)=-\frac{16}{3}$. Het verschil is $\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}$. De oppervlakte is $\frac{32}{3}$.

Zie ook

• Oppervlakte tussen twee grafieken
• De grafiek ligt onder de x-as

Lees de theorie