Inhoud

Een vlakdeel wentelt om de $x$ -as en wordt een lichaam. Eerst maak je van het verhaaltje een integraal: $π$ keer het kwadraat van de grafiek. Daarna reken je die uit, met de substitutiemethode of met partieel integreren.

Stap 0 · Welk lichaam is dit?

Tik het lichaam aan dat bij jouw opgave past. Daarna doe je stap 1, 2 en 3.

De grafiek en de $x$ -as

Twee grafieken

De inhoud is gegeven

Stap 1, 2 en 3 per route

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Inhoud $I (L) = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x$	Schrijf $π$ keer de integraal van het kwadraat. Ligt de grafiek onder de $x$ -as, dan zet je geen min ervoor: het kwadraat is al positief. Bij twee grafieken kwadrateer je elke grafiek apart. De verste van de $x$ -as min de dichtste.	Primitiveer het kwadraat. Is het een veelterm, dan doe je dat term voor term. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.	Vul de grenzen in. De inhoud is een positief exact getal, met $π$ . Vraagt de opgave om $p$ , los de vergelijking exact op. Zet geen $+ c$ .

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Inhoud

$I (L) = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x$

Schrijf

π

keer de integraal van het kwadraat. Ligt de grafiek onder de

x

-as, dan zet je geen min ervoor: het kwadraat is al positief. Bij twee grafieken kwadrateer je elke grafiek apart. De verste van de

x

-as min de dichtste.

Primitiveer het kwadraat. Is het een veelterm, dan doe je dat term voor term. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.

Vul de grenzen in. De inhoud is een positief exact getal, met

π

. Vraagt de opgave om

p

, los de vergelijking exact op. Zet geen

+ c

Een inhoud is een positief getal. Het kwadraat van een verschil is iets anders dan het verschil van de kwadraten. Rond niet af.

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

I(L)=π∫ van a tot b(f(x))² dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=e^(x/2)√(x):\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en x=1 om de x-as wentelt → π

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0, want √(x)=0. Tussen 0 en 1 zijn e^(x/2) en √(x) allebei nul of positief. De inhoud is I(L)=π∫ van 0 tot 1(e^(x/2)√(x))² dx.
Deel 2 — het kwadraat is x e^(x). Een veelterm maal een e-macht: partieel integreren. Neem g(x)=x en h'(x)=e^(x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=e^(x).
De regel geeft x e^(x)-∫ e^(x) dx=(x-1)e^(x). Terugdifferentiëren: e^(x)+(x-1)e^(x)=x e^(x).
Deel 3 — π[(x-1)e^(x)] van 0 tot 1=π(0-(-1))=π.

Noemt de opgave maar één lijn, bijvoorbeeld x=1? De andere grens is dan het punt waar de grafiek de x-as snijdt.

π blijft voor de integraal staan. Je primitiveert alleen het kwadraat.

I(L)=π∫ van a tot b(f(x))² dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=x-2:\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de y-as om de x-as wentelt → (8/3) π

Deel 1 — f(x)=x-2 snijdt de x-as bij x=2. De y-as is de lijn x=0. Tussen 0 en 2 is x-2 negatief, dus de grafiek ligt onder de x-as. De straal is de afstand tot de x-as. Die kwadrateer je, zonder min ervoor. I(L)=π∫ van 0 tot 2(x-2)² dx.
Deel 2 — (x-2)²=x²-4x+4. Een primitieve van het kwadraat is (1/3)x³-2x²+4x. Terugdifferentiëren geeft x²-4x+4.
Deel 3 — [(1/3)x³-2x²+4x] van 0 tot 2=(8/3)-8+8=(8/3). De inhoud is (8/3) π.
Controle: het lichaam is een kegel met straal 2 en hoogte 2. De inhoud van een kegel is (1/3) π r² h=(1/3) π· 4· 2=(8/3) π.

Je zet geen min voor de integraal. Het kwadraat van een negatief getal is positief, en een inhoud is dat ook.

I(L)=π∫ van a tot b((h(x))²-(f(x))²) dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=(x/2),\ h(x)=√(x):\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafieken om de x-as wentelt → (8/3) π

Deel 1 — snijpunten: √(x)=(x/2). Kwadrateren geeft x=(x²)/4, dus x²-4x=0 en x=0 of x=4. Beide voldoen. Bij x=1 is h(1)=1 en f(1)=(1/2), dus h ligt verder van de x-as. De inhoud is π keer de integraal van (√(x))²-((x/2))², van 0 tot 4.
Deel 2 — (√(x))²=x en ((x/2))²=(x²)/4. De integrand is x-(x²)/4. Een primitieve is (1/2)x²-(1/12)x³. Terugdifferentiëren geeft x-(x²)/4.
Deel 3 — [(1/2)x²-(1/12)x³] van 0 tot 4=8-(64/12)=8-(16/3)=(8/3). De inhoud is (8/3) π.

Eerst de snijpunten. Daartussen vul je één x-waarde in om te zien welke grafiek verder van de x-as ligt.

Je kwadrateert elke grafiek apart en trekt daarna af. (√(x)-(x/2))² is een andere integrand.

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

π∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx=π ln(5)

Antwoordvorm: Je geeft p exact, niet afgerond.

f(x)=√(2x/(x²+1)),\ I(L)=π ln(5),\ p>0,\ tussen de grafiek, de x-as en x=p → p=2

Deel 1 — vanaf x=0 is de breuk onder de wortel nul of positief. De grafiek snijdt de x-as bij x=0. De inhoud tot x=p is π∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx, en die moet π ln(5) worden.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1 en de teller is g'(x)=2x. Dat is de substitutiemethode: een primitieve van de integrand is ln(x²+1). Terugdifferentiëren geeft 2x/(x²+1).
Deel 3 — π[ln(x²+1)] van 0 tot p=π ln(p²+1). Uit π ln(p²+1)=π ln(5) volgt p²+1=5, dus p²=4. Omdat p>0 is p=2.

π staat aan beide kanten en valt weg. Uit ln(A)=ln(B) volgt A=B.

Route	Stap 1	Stap 2	Stap 3
Inhoud $I (L) = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x$	Schrijf $π$ keer de integraal van het kwadraat. Ligt de grafiek onder de $x$ -as, dan zet je geen min ervoor: het kwadraat is al positief. Bij twee grafieken kwadrateer je elke grafiek apart. De verste van de $x$ -as min de dichtste.	Primitiveer het kwadraat. Is het een veelterm, dan doe je dat term voor term. Staat de afgeleide van een kern ernaast, dan is het de substitutiemethode. Is het een product van twee factoren, dan is het partieel integreren.	Vul de grenzen in. De inhoud is een positief exact getal, met $π$ . Vraagt de opgave om $p$ , los de vergelijking exact op. Zet geen $+ c$ .

Route

Stap 1

Stap 2

Stap 3

Inhoud

$I (L) = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x$

Schrijf

π

keer de integraal van het kwadraat. Ligt de grafiek onder de

x

-as, dan zet je geen min ervoor: het kwadraat is al positief. Bij twee grafieken kwadrateer je elke grafiek apart. De verste van de

x

-as min de dichtste.

Vul de grenzen in. De inhoud is een positief exact getal, met

π

. Vraagt de opgave om

p

, los de vergelijking exact op. Zet geen

+ c

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

I(L)=π∫ van a tot b(f(x))² dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=e^(x/2)√(x):\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en x=1 om de x-as wentelt → π

Deel 1 — de grafiek snijdt de x-as bij x=0, want √(x)=0. Tussen 0 en 1 zijn e^(x/2) en √(x) allebei nul of positief. De inhoud is I(L)=π∫ van 0 tot 1(e^(x/2)√(x))² dx.
Deel 2 — het kwadraat is x e^(x). Een veelterm maal een e-macht: partieel integreren. Neem g(x)=x en h'(x)=e^(x). Dan is g'(x)=1 en h(x)=e^(x).
De regel geeft x e^(x)-∫ e^(x) dx=(x-1)e^(x). Terugdifferentiëren: e^(x)+(x-1)e^(x)=x e^(x).
Deel 3 — π[(x-1)e^(x)] van 0 tot 1=π(0-(-1))=π.

Noemt de opgave maar één lijn, bijvoorbeeld x=1? De andere grens is dan het punt waar de grafiek de x-as snijdt.

π blijft voor de integraal staan. Je primitiveert alleen het kwadraat.

I(L)=π∫ van a tot b(f(x))² dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=x-2:\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafiek, de x-as en de y-as om de x-as wentelt → (8/3) π

Deel 1 — f(x)=x-2 snijdt de x-as bij x=2. De y-as is de lijn x=0. Tussen 0 en 2 is x-2 negatief, dus de grafiek ligt onder de x-as. De straal is de afstand tot de x-as. Die kwadrateer je, zonder min ervoor. I(L)=π∫ van 0 tot 2(x-2)² dx.
Deel 2 — (x-2)²=x²-4x+4. Een primitieve van het kwadraat is (1/3)x³-2x²+4x. Terugdifferentiëren geeft x²-4x+4.
Deel 3 — [(1/3)x³-2x²+4x] van 0 tot 2=(8/3)-8+8=(8/3). De inhoud is (8/3) π.
Controle: het lichaam is een kegel met straal 2 en hoogte 2. De inhoud van een kegel is (1/3) π r² h=(1/3) π· 4· 2=(8/3) π.

Je zet geen min voor de integraal. Het kwadraat van een negatief getal is positief, en een inhoud is dat ook.

I(L)=π∫ van a tot b((h(x))²-(f(x))²) dx

Antwoordvorm: Een inhoud is een positief exact getal, met π, zonder +c.

f(x)=(x/2),\ h(x)=√(x):\ inhoud als het vlakdeel tussen de grafieken om de x-as wentelt → (8/3) π

Deel 1 — snijpunten: √(x)=(x/2). Kwadrateren geeft x=(x²)/4, dus x²-4x=0 en x=0 of x=4. Beide voldoen. Bij x=1 is h(1)=1 en f(1)=(1/2), dus h ligt verder van de x-as. De inhoud is π keer de integraal van (√(x))²-((x/2))², van 0 tot 4.
Deel 2 — (√(x))²=x en ((x/2))²=(x²)/4. De integrand is x-(x²)/4. Een primitieve is (1/2)x²-(1/12)x³. Terugdifferentiëren geeft x-(x²)/4.
Deel 3 — [(1/2)x²-(1/12)x³] van 0 tot 4=8-(64/12)=8-(16/3)=(8/3). De inhoud is (8/3) π.

Eerst de snijpunten. Daartussen vul je één x-waarde in om te zien welke grafiek verder van de x-as ligt.

Je kwadrateert elke grafiek apart en trekt daarna af. (√(x)-(x/2))² is een andere integrand.

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

π∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx=π ln(5)

Antwoordvorm: Je geeft p exact, niet afgerond.

f(x)=√(2x/(x²+1)),\ I(L)=π ln(5),\ p>0,\ tussen de grafiek, de x-as en x=p → p=2

Deel 1 — vanaf x=0 is de breuk onder de wortel nul of positief. De grafiek snijdt de x-as bij x=0. De inhoud tot x=p is π∫ van 0 tot p2x/(x²+1) dx, en die moet π ln(5) worden.
Deel 2 — de kern is g(x)=x²+1 en de teller is g'(x)=2x. Dat is de substitutiemethode: een primitieve van de integrand is ln(x²+1). Terugdifferentiëren geeft 2x/(x²+1).
Deel 3 — π[ln(x²+1)] van 0 tot p=π ln(p²+1). Uit π ln(p²+1)=π ln(5) volgt p²+1=5, dus p²=4. Omdat p>0 is p=2.

π staat aan beide kanten en valt weg. Uit ln(A)=ln(B) volgt A=B.

Inhoud

Stap 0 · Welk lichaam is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grenzen staan in de opgave

De grafiek ligt onder de $x$ -as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De inhoud is gegeven, zoek $p$

Inhoud

Stap 0 · Welk lichaam is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grenzen staan in de opgave

De grafiek ligt onder de $x$ -as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De inhoud is gegeven, zoek $p$

Inhoud

Stap 0 · Welk lichaam is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grenzen staan in de opgave

De grafiek ligt onder de x-as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De inhoud is gegeven, zoek p

Inhoud

Stap 0 · Welk lichaam is dit?

Deel 1 · Van verhaaltje naar integraal

De grenzen staan in de opgave

De grafiek ligt onder de x-as

Tussen twee grafieken

Deel 3 · Gebruik de uitkomst

De inhoud is gegeven, zoek p

De grafiek ligt onder de $x$ -as

De inhoud is gegeven, zoek $p$

De grafiek ligt onder de $x$ -as

De inhoud is gegeven, zoek $p$