De primitieve van x/(x²+1)

Antwoord

Het antwoord is (1/2) ln(x²+1)+c

\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + c

Uitwerking

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$

Stap 0
Alleen deel 2 speelt hier. Herken een breuk waarvan de teller bij de afgeleide van de noemer hoort.
Stap 1
Noem de kern $g (x) = x^{2} + 1$ . Dan is $g^{'} (x) = 2 x$ . In de teller staat $x$ , dus de helft van $g^{'} (x)$ .
Stap 2
De primitieve van $g^{'} / g$ is $ln ∣ g ∣$ . Hier staat $\frac{1}{2} \cdot \frac{g ^{'}}{g}$ , dus $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1)$ . De haakjes zijn altijd positief, de absolute waarde mag weg.
Stap 3
Schrijf het antwoord op: $F (x) = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + c$ . Controle: differentieer $F$ en je krijgt $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ terug.

Dit is geen arctan. Arctan hoort bij teller $1$ en noemer $x^{2} + 1$ . Door de $x$ in de teller wordt het een logaritme.