De primitieve van e^x·sin(x)

Antwoord

Het antwoord is (1/2)e^(x)\big(sin(x)-cos(x)\big)+c

\frac{1}{2} e^{x} (sin (x) - cos (x)) + c

Uitwerking

$\int e^{x} sin (x) d x$

Stap 0
Alleen deel 2 speelt hier. Een e-macht maal een sinus: twee keer partieel integreren. Dezelfde integraal komt dan terug en schuif je naar links.
Stap 1
Kies $g (x) = sin (x)$ en $h^{'} (x) = e^{x}$ . Dan is $g^{'} (x) = cos (x)$ en $h (x) = e^{x}$ . Eerste stap: $e^{x} sin (x) - \int e^{x} cos (x) d x$ .
Stap 2
Nog een keer, nu op $e^{x} cos (x)$ met $g (x) = cos (x)$ : dat wordt $e^{x} cos (x) + \int e^{x} sin (x) d x$ . Samen staat er $e^{x} sin (x) - e^{x} cos (x) - \int e^{x} sin (x) d x$ .
Stap 3
Noem de gezochte primitieve $F$ , zonder $+ c$ . Dan is $F = e^{x} (sin (x) - cos (x)) - F$ , dus $2 F = e^{x} (sin (x) - cos (x))$ . Dus $F (x) = \frac{1}{2} e^{x} (sin (x) - cos (x)) + c$ .

Na twee stappen de integraal niet aan de andere kant zetten. Hij staat er nog een keer in, en daarom deel je aan het eind door $2$ .