De primitieve van x·e^x

Antwoord

Het antwoord is e^(x)(x-1)+c

e^{x} (x - 1) + c

Uitwerking

$\int x e^{x} d x$

Stap 0
Alleen deel 2 speelt hier. Een veelterm maal een e-macht: partieel integreren.
Stap 1
Kies $g (x) = x$ en $h^{'} (x) = e^{x}$ . Dan is $g^{'} (x) = 1$ en $h (x) = e^{x}$ .
Stap 2
$g \cdot h - \int h \cdot g^{'} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} = e^{x} (x - 1)$ .
Stap 3
Schrijf het antwoord op: $F (x) = e^{x} (x - 1) + c$ . Controle: differentieer $F$ en je krijgt $x e^{x}$ terug.

$x e^{x}$ is te veel. Bij het differentiëren komt er dan een extra $e^{x}$ bij. Die trek je eraf, vandaar de factor $(x - 1)$ .