De primitieve van x²·e^x

Antwoord

Het antwoord is e^(x)(x²-2x+2)+c

e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + c

Uitwerking

$\int x^{2} e^{x} d x$

Stap 0
Alleen deel 2 speelt hier. Een kwadraat maal een e-macht: twee keer partieel integreren. De e-macht blijft steeds $h^{'}$ .
Stap 1
Eerste keer: $g (x) = x^{2}$ en $h^{'} (x) = e^{x}$ . Dan is $g^{'} (x) = 2 x$ en $h (x) = e^{x}$ . Je krijgt $x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$ .
Stap 2
Tweede keer op $x e^{x}$ : $g (x) = x$ , $h^{'} (x) = e^{x}$ . Dat geeft $e^{x} (x - 1)$ . Dus $\int 2 x e^{x} d x = 2 e^{x} (x - 1)$ . Samen: $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$ .
Stap 3
Schrijf het antwoord op: $F (x) = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + c$ . Controle: differentieer $F$ en je krijgt $x^{2} e^{x}$ terug.

Na één keer stoppen laat de integraal van $2 x e^{x}$ staan. Die moet ook nog geprimitiveerd worden.