De primitieve van x·ln(x)

Uitwerking

$\int x\ln (x)dx$

1. Stap 0

   Alleen deel 2 speelt hier. Een product met een logaritme: partieel integreren. De logaritme wordt $g$, want die wordt eenvoudiger als je differentieert.

2. Stap 1

   Kies $g(x)=\ln (x)$ en $h^{\prime }(x)=x$. Dan is $g^{\prime }(x)=1/x$ en $h(x)=\frac{1}{2}{x}^2$.

3. Stap 2

   $g\cdot h-\int h\cdot g^{\prime }dx=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x)-\int \frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x)-\int \frac{1}{2}xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x)-\frac{1}{4}{x}^2$.

4. Stap 3

   Schrijf het antwoord op: $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x)-\frac{1}{4}{x}^2+c$. Controle: differentieer $F$ en je krijgt $x\ln (x)$ terug.

Zie ook

• De primitieve van ln(x)
• De primitieve van x·e^x

Lees de theorie