De primitieve van sin²(x)

Antwoord

Het antwoord is (1/2)x-(1/4) sin(2x)+c

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + c

Uitwerking

$\int sin^{2} (x) d x$

Stap 0
Alleen deel 2 speelt hier. $sin^{2} (x)$ staat niet in de standaardlijst. Gebruik $sin^{2} (x) = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}$ .
Stap 1
Herschrijf: $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ .
Stap 2
$\frac{1}{2}$ geeft $\frac{1}{2} x$ . De kern van $cos (2 x)$ is $2 x$ , dus de primitieve van $cos (2 x)$ is $\frac{1}{2} sin (2 x)$ . Met de factor $- \frac{1}{2}$ wordt dat $- \frac{1}{4} sin (2 x)$ .
Stap 3
Schrijf het antwoord op: $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + c$ . Controle: differentieer $F$ en je krijgt $sin^{2} (x)$ terug.

$\frac{1}{3} sin^{3} (x)$ is de primitieve van $sin^{2} (x) \cdot cos (x)$ , niet van $sin^{2} (x)$ alleen. De extra $cos (x)$ ontbreekt hier.