De primitieve van 1/(x²+4)

Uitwerking

$\int \frac{1}{x^2+4}dx$

1. Stap 0

   Alleen deel 2 speelt hier. De noemer is een kwadraat plus een getal, dus het wordt arctan. Eerst herschrijven tot $+1$.

2. Stap 1

   $x^2+4=4\left({\left(\frac{x}{2}\right)}^2+1\right)$, dus $\frac{1}{x^2+4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{(x/2{)}^2+1}$.

3. Stap 2

   De primitieve van $\frac{1}{t^2+1}$ is $\arctan (t)$, met $t=x/2$. De keten geeft nog een factor $\frac{1}{2}$ in de afgeleide, en die deel je weg: $\frac{1}{4}\cdot 2\arctan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)$.

4. Stap 3

   Schrijf het antwoord op: $F(x)=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+c$. Controle: differentieer $F$ en je krijgt $\frac{1}{x^2+4}$ terug.

Zie ook

• De primitieve van 1/(x²+1)
• De primitieve van 1/x²

Lees de theorie