Integreren: alle routes op één pagina

K.3 – Cyclometrische functies

Oefen Cyclometrische functies →

Elke integraal hier wordt $arctan$ of $arcsin$ . De noemer zegt welke van de twee.

Stap 0 · Kijk naar de noemer

Tik de vorm aan die bij jouw integraal past; je springt dan naar de stappen.

Noemer $\dots^{2} + 1$ → het wordt $arctan$

Wortel $1 - \dots^{2}$ → het wordt $arcsin$

$arctan$ of $arcsin$ staat zelf in de opgave

Deel 2 · Bereken de integraal

\int \frac{a}{x ^{2} + 1} d x = a arctan (x) + c

Voorbeeld

$\int_{- \frac{1}{3} 3}^{3} \frac{1}{x ^{2} + 1} d x ⟹ \frac{1}{2} π$
1. 1.De noemer is precies $x^{2} + 1$ , dus de primitieve is $arctan (x)$ .
2. 2.Grenzen invullen: $arctan (3) - arctan (- \frac{1}{3} 3)$ .
3. 3.Uit de tabel: $\frac{1}{3} π - (- \frac{1}{6} π) = \frac{1}{2} π$ .

Dit is de enige route zonder voorwerk. Komt bijna nooit kaal voor — meestal moet je er eerst route 2 of 3 op loslaten.

\int \frac{a}{( b x ) ^{2} + 1} d x = \frac{a}{b} arctan (b x) + c \frac{a}{p x ^{2} + q} = \frac{a / q}{\frac{p}{q} x ^{2} + 1}, b = \frac{p}{q}

Voorbeeld

$\int_{0}^{1 \frac{1}{2}} \frac{2}{4 x ^{2} + 9} d x ⟹ \frac{1}{12} π$
1. 1.Deel teller en noemer door $9$ : $\frac{2}{4 x ^{2} + 9} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{4}{9} x ^{2} + 1}$ .
2. 2.Lees $b$ af: $\frac{4}{9} x^{2} = (\frac{2}{3} x)^{2}$ , dus $b = \frac{2}{3}$ .
3. 3.Primitieve: $\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} arctan (\frac{2}{3} x) = \frac{1}{3} arctan (\frac{2}{3} x)$ .
4. 4.Grenzen: $\frac{1}{3} arctan (1) - 0 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} π = \frac{1}{12} π$ .
$f (x) = \frac{10}{x ^{2} + 4} ⟹ F (x) = 5 arctan (\frac{1}{2} x) + c$
1. 1.Deel door $4$ : $\frac{10}{x ^{2} + 4} = \frac{2 \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} x ^{2} + 1}$ , dus $a = 2 \frac{1}{2}$ .
2. 2. $\frac{1}{4} x^{2} = (\frac{1}{2} x)^{2}$ , dus $b = \frac{1}{2}$ .
3. 3. $F (x) = 2 \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (\frac{1}{2} x) + c = 5 arctan (\frac{1}{2} x) + c$ .
$f (x) = \frac{5}{32 x ^{2} + 2} ⟹ F (x) = \frac{5}{8} arctan (4 x) + c$
1. 1.Deel door $2$ : $\frac{5}{32 x ^{2} + 2} = \frac{\frac{5}{2}}{16 x ^{2} + 1}$ .
2. 2. $16 x^{2} = (4 x)^{2}$ , dus $b = 4$ .
3. 3. $F (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} arctan (4 x) + c = \frac{5}{8} arctan (4 x) + c$ .

Vergeet de $\frac{1}{b}$ niet. Controleer achteraf door te differentiëren: de kettingregel moet de $b$ precies wegdelen.

x^{2} + p x + q = (x + \frac{1}{2} p)^{2} + r, r = q - \frac{1}{4} p^{2} \int \frac{a}{( x + s ) ^{2} + r} d x = \frac{a}{r} arctan (\frac{x + s}{r}) + c

Voorbeeld

$h (x) = \frac{5}{x ^{2} + 6 x + 10} ⟹ H (x) = 5 arctan (x + 3) + c$
1. 1.Splits af: $x^{2} + 6 x + 10 = (x + 3)^{2} + 1$ .
2. 2.De noemer eindigt al op $+ 1$ , dus $b = 1$ .
3. 3. $H (x) = 5 arctan (x + 3) + c$ .
$\int_{3}^{6} \frac{5}{x ^{2} - 6 x + 18} d x ⟹ \frac{5}{12} π$
1. 1.Splits af: $x^{2} - 6 x + 18 = (x - 3)^{2} + 9$ .
2. 2.Deel door $9$ : de primitieve wordt $\frac{5}{9} \cdot 3 arctan (\frac{x - 3}{3}) = \frac{5}{3} arctan (\frac{x - 3}{3})$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{5}{3} arctan (1) - \frac{5}{3} arctan (0) = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} π = \frac{5}{12} π$ .
$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x ^{2} - 4 x + 2} d x ⟹ \frac{1}{4} π$
1. 1.Er staat een $4$ voor $x^{2}$ : schrijf het kwadraat met $2 x$ erin, $4 x^{2} - 4 x + 2 = (2 x - 1)^{2} + 1$ .
2. 2.Nu is $b = 2$ , dus de primitieve is $\frac{1}{2} arctan (2 x - 1)$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{2} arctan (1) - \frac{1}{2} arctan (- 1) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} π + \frac{1}{4} π) = \frac{1}{4} π$ .

Herken je deze route? De noemer is een kwadratische die je niet kunt ontbinden — de discriminant is negatief. Kon je hem wél ontbinden, dan was het een breuksplitsing geweest en geen $arctan$ .

\int \frac{g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2} + 1} d x = arctan (g (x)) + c

Voorbeeld

$\int_{0}^{\frac{1}{2} l n (3)} \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 1} d x ⟹ \frac{1}{12} π$
1. 1. $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ , dus $g = e^{x}$ .
2. 2.De teller is precies $g^{'} = e^{x}$ : de primitieve is $arctan (e^{x})$ .
3. 3.Grenzen: $arctan (e^{\frac{1}{2} l n 3}) - arctan (1) = arctan (3) - \frac{1}{4} π = \frac{1}{3} π - \frac{1}{4} π = \frac{1}{12} π$ .
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{4} + 1} d x ⟹ \frac{1}{4} π$
1. 1. $x^{4} = (x^{2})^{2}$ , dus $g = x^{2}$ en $g^{'} = 2 x$ — dat is precies de teller.
2. 2.Primitieve: $arctan (x^{2})$ .
3. 3.Grenzen: $arctan (1) - arctan (0) = \frac{1}{4} π$ .
$\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \frac{s i n ( x )}{c o s ^{2} ( x ) + 1} d x ⟹ \frac{1}{4} π$
1. 1. $g = cos (x)$ , dus $g^{'} = - sin (x)$ : de teller is $- g^{'}$ .
2. 2.Primitieve: $- arctan (cos (x))$ .
3. 3.Grenzen: $- arctan (0) + arctan (1) = \frac{1}{4} π$ .
$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x ^{2}}{x ^{6} + 1} d x ⟹ \frac{1}{2} π$
1. 1. $x^{6} = (x^{3})^{2}$ , dus $g = x^{3}$ en $g^{'} = 3 x^{2}$ — precies de teller.
2. 2.Primitieve: $arctan (x^{3})$ .
3. 3.Grenzen: $arctan (1) - arctan (- 1) = \frac{1}{4} π + \frac{1}{4} π = \frac{1}{2} π$ .

Zoek altijd eerst het kwadraat in de noemer. Wat daarin gekwadrateerd staat, is je $g$ ; de teller moet daar de afgeleide van zijn.
Staat de teller er niet precies, maar scheelt het een constante? Haal die constante naar voren, bijvoorbeeld $\int \frac{x}{x ^{4} + 1} d x = \frac{1}{2} arctan (x^{2}) + c$ .

\int \frac{arctan ^{n} ( x )}{x ^{2} + 1} d x = \frac{arctan ^{n + 1} ( x )}{n + 1} + c \int \frac{arcsin ^{n} ( x )}{1 - x ^{2}} d x = \frac{arcsin ^{n + 1} ( x )}{n + 1} + c

Voorbeeld

$\int_{0}^{3} \frac{a r c t a n ( x )}{x ^{2} + 1} d x ⟹ \frac{1}{18} π^{2}$
1. 1.Neem $g = arctan (x)$ ; dan is $g^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ en staat er $\int g \cdot g^{'} d x$ .
2. 2.Primitieve: $\frac{1}{2} arctan^{2} (x)$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} π)^{2} - 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} π^{2} = \frac{1}{18} π^{2}$ .
$\int_{0}^{1} \frac{a r c t a n ^{2} ( x )}{x ^{2} + 1} d x ⟹ \frac{1}{192} π^{3}$
1. 1. $g = arctan (x)$ , dus er staat $\int g^{2} \cdot g^{'} d x$ .
2. 2.Primitieve: $\frac{1}{3} arctan^{3} (x)$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} π)^{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{64} π^{3} = \frac{1}{192} π^{3}$ .
$f (x) = \frac{a r c s i n ( x )}{1 - x ^{2}} ⟹ F (x) = \frac{1}{2} arcsin^{2} (x) + c$
1. 1. $g = arcsin (x)$ geeft $g^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , precies de rest van de breuk.
2. 2.Dus $F (x) = \frac{1}{2} arcsin^{2} (x) + c$ .

Dit is gewoon route 4 of 6, maar met $arctan$ of $arcsin$ in de teller in plaats van eronder. Herken de vorm $\int g^{n} \cdot g^{'} d x$ .

\int \frac{a}{1 - ( b x ) ^{2}} d x = \frac{a}{b} arcsin (b x) + c c^{2} - x^{2} = c 1 - (\frac{x}{c})^{2}

Voorbeeld

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{6} 3} \frac{1}{1 - 9 x ^{2}} d x ⟹ \frac{1}{18} π$
1. 1.Onder de wortel staat al $1 - \dots^{2}$ : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , dus $b = 3$ .
2. 2.Primitieve: $\frac{1}{3} arcsin (3 x)$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{3} (arcsin (\frac{1}{2} 3) - arcsin (\frac{1}{2})) = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} π - \frac{1}{6} π) = \frac{1}{18} π$ .
$\int_{- 1 \frac{1}{2} 2}^{1 \frac{1}{2} 2} \frac{1}{9 - x ^{2}} d x ⟹ \frac{1}{2} π$
1. 1.Haal de $3$ buiten de wortel: $9 - x^{2} = 3 1 - (\frac{x}{3})^{2}$ .
2. 2.Dus $a = \frac{1}{3}$ en $b = \frac{1}{3}$ : de primitieve is $arcsin (\frac{x}{3})$ .
3. 3.Grenzen: $arcsin (\frac{1}{2} 2) - arcsin (- \frac{1}{2} 2) = \frac{1}{4} π + \frac{1}{4} π = \frac{1}{2} π$ .
$f (x) = \frac{1}{1 - 4 x ^{2}} ⟹ F (x) = \frac{1}{2} arcsin (2 x) + c$
1. 1. $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ , dus $b = 2$ .
2. 2. $F (x) = \frac{1}{2} arcsin (2 x) + c$ .

Bij $c^{2} - x^{2}$ valt de $c$ uit de wortel weg tegen de $\frac{1}{b}$ : $\int \frac{1}{c ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin (\frac{x}{c}) + c$ . Handig om te onthouden.

\int \frac{g ^{'} ( x )}{1 - ( g ( x ) ) ^{2}} d x = arcsin (g (x)) + c

Voorbeeld

$\int_{0}^{\frac{1}{2} 2} \frac{x}{1 - x ^{4}} d x ⟹ \frac{1}{12} π$
1. 1. $x^{4} = (x^{2})^{2}$ , dus $g = x^{2}$ en $g^{'} = 2 x$ ; de teller is $\frac{1}{2} g^{'}$ .
2. 2.Primitieve: $\frac{1}{2} arcsin (x^{2})$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} π = \frac{1}{12} π$ .
$\int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x ^{4}} d x ⟹ \frac{1}{12} π$
1. 1.Eerst route 5: $4 - x^{4} = 2 1 - (\frac{x ^{2}}{2})^{2}$ .
2. 2.Dan route 6 met $g = \frac{1}{2} x^{2}$ , dus $g^{'} = x$ — precies de teller. Primitieve: $\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{2} x^{2})$ .
3. 3.Grenzen: $\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{12} π$ .
$g (x) = \frac{1}{x 1 - l n ^{2} ( x )} ⟹ G (x) = arcsin (ln (x)) + c$
1. 1.Onder de wortel staat $ln^{2} (x)$ , dus $g = ln (x)$ en $g^{'} = \frac{1}{x}$ .
2. 2.Die $\frac{1}{x}$ staat al als factor vóór de wortel: $G (x) = arcsin (ln (x)) + c$ .
$g (x) = \frac{5 x ^{4}}{1 - x ^{10}} ⟹ G (x) = arcsin (x^{5}) + c$
1. 1. $x^{10} = (x^{5})^{2}$ , dus $g = x^{5}$ en $g^{'} = 5 x^{4}$ — precies de teller.
2. 2. $G (x) = arcsin (x^{5}) + c$ .

Vaak moet je route 5 en 6 combineren: eerst de constante onder de wortel wegwerken, dan pas substitueren.

\int g \cdot h^{'} d x = g \cdot h - \int g^{'} \cdot h d x

Voorbeeld

$f (x) = arctan (x) ⟹ F (x) = x arctan (x) - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + c$
1. 1.Neem $g = arctan (x)$ en $h^{'} = 1$ , dus $g^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ en $h = x$ .
2. 2.Invullen: $x arctan (x) - \int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ .
3. 3.Die integraal is $\frac{1}{2}$ keer „afgeleide gedeeld door functie”, dus hij geeft $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1)$ .
$g (x) = arcsin (x) ⟹ G (x) = x arcsin (x) + 1 - x^{2} + c$
1. 1.Neem $g = arcsin (x)$ en $h^{'} = 1$ , dus $g^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ en $h = x$ .
2. 2.Invullen: $x arcsin (x) - \int \frac{x}{1 - x ^{2}} d x$ .
3. 3.Die integraal geeft $- 1 - x^{2}$ , en min min wordt plus: $G (x) = x arcsin (x) + 1 - x^{2} + c$ .

Staat $arctan$ of $arcsin$ er kaal, zonder breuk? Dan is het altijd partieel integreren met $h^{'} = 1$ .

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

O (V) = \int_{a}^{b} f (x) d x

Antwoordvorm: Bij een vraag naar $p$ geef je een exact antwoord; vaak staat daar $tan$ of $sin$ in, bijvoorbeeld $p = 4 + tan (1)$ .

Voorbeeld

$f (x) = \frac{10}{x ^{2} - 8 x + 17}, O (W_{p}) = 10, p > 4 ⟹ p = 4 + tan (1)$
1. 1.Deel 1 — "het vlakdeel tussen de grafiek, de $x$ -as en de lijnen $x = 4$ en $x = p$ " wordt $O (W_{p}) = \int_{4}^{p} f (x) d x$ .
2. 2.Deel 2 — route 3: $x^{2} - 8 x + 17 = (x - 4)^{2} + 1$ , dus $F (x) = 10 arctan (x - 4)$ en $O (W_{p}) = 10 arctan (p - 4)$ .
3. 3.Deel 3 — los op: $10 arctan (p - 4) = 10$ geeft $arctan (p - 4) = 1$ , dus $p - 4 = tan (1)$ en $p = 4 + tan (1)$ .
$f (x) = \frac{4}{x l n ^{2} ( x ) + x}, O (V_{p}) = π, p > 1 ⟹ p = e$
1. 1.Deel 1 — $O (V_{p}) = \int_{1}^{p} f (x) d x$ .
2. 2.Deel 2 — haal $x$ buiten haakjes: $\frac{4}{x ( ln ^{2} ( x ) + 1 )}$ . Route 4 met $g = ln (x)$ , $g^{'} = \frac{1}{x}$ , dus $F (x) = 4 arctan (ln (x))$ .
3. 3.Deel 3 — $4 arctan (ln (p)) = π$ geeft $arctan (ln (p)) = \frac{1}{4} π$ , dus $ln (p) = 1$ en $p = e$ .
$f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 5} : oppervlakte tussen de grafiek en de lijn y = \frac{1}{2} ⟹ \frac{1}{2} π - 1$
1. 1.Deel 1 — twee grafieken: eerst de snijpunten. $\frac{1}{( x - 2 ) ^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ geeft $(x - 2)^{2} = 1$ , dus $x = 1$ en $x = 3$ .
2. 2.Deel 1 — de grafiek ligt daar boven de lijn, dus $O (V) = \int_{1}^{3} (f (x) - \frac{1}{2}) d x$ .
3. 3.Deel 2 — route 3: $F (x) = arctan (x - 2)$ , dus $O (V) = [arctan (x - 2) - \frac{1}{2} x]_{1}^{3}$ .
4. 4.Deel 3 — invullen: $(\frac{1}{4} π - \frac{3}{2}) - (- \frac{1}{4} π - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} π - 1$ .
$f (x) = \frac{x}{25 - x ^{4}} : O (V) tussen de grafiek, de x -as en x = \frac{1}{2} 10 ⟹ \frac{1}{12} π$
1. 1.Deel 1 — $O (V) = \int_{0}^{\frac{1}{2} 10} f (x) d x$ ; de linkergrens is het nulpunt $x = 0$ .
2. 2.Deel 2 — route 5 en 6: $25 - x^{4} = 5 1 - (\frac{x ^{2}}{5})^{2}$ , met $g = \frac{1}{5} x^{2}$ en $g^{'} = \frac{2}{5} x$ volgt $F (x) = \frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{5} x^{2})$ .
3. 3.Deel 3 — invullen: $x = \frac{1}{2} 10$ geeft $x^{2} = 2 \frac{1}{2}$ , dus $\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} π = \frac{1}{12} π$ .

Deel 1 is bijna altijd hetzelfde zinnetje: "het vlakdeel ingesloten door de grafiek, de $x$ -as en de lijnen $x = a$ en $x = p$ ". Dat is $\int_{a}^{p} f (x) d x$ .
Twee grafieken? Eerst de snijpunten oplossen, dan $\int (boven - onder) d x$ .
Deel 3 is de omgekeerde weg: uit $arctan (\dots) = k$ volgt $\dots = tan (k)$ , en uit $arcsin (\dots) = k$ volgt $\dots = sin (k)$ .

Naslag

\int \frac{1}{x ^{2} + 1} d x = arctan (x) + c \int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin (x) + c

Antwoordvorm: Een onbepaalde integraal eindigt altijd op $+ c$ ; een bepaalde integraal geef je exact, dus als veelvoud van $π$ (of $π^{2}$ , $π^{3}$ ).

Andersom: $g (x) = arctan (x)$ geeft $g^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ en $g (x) = arcsin (x)$ geeft $g^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .
Domein en bereik: $arctan$ heeft $D = R$ en $B = ⟨ - \frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π ⟩$ ; $arcsin$ heeft $D = [- 1, 1]$ en $B = [- \frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π]$ .
Daarom heeft $arctan (x) = \frac{2}{3} π$ geen oplossing: $\frac{2}{3} π$ ligt buiten het bereik.

$x$	$arctan (x)$
$- 3$	$- \frac{1}{3} π$
$- 1$	$- \frac{1}{4} π$
$- \frac{1}{3} 3$	$- \frac{1}{6} π$
$0$	$0$
$\frac{1}{3} 3$	$\frac{1}{6} π$
$1$	$\frac{1}{4} π$
$3$	$\frac{1}{3} π$

$arctan$ is oneven: $arctan (- x) = - arctan (x)$ . Je hoeft dus maar de helft te onthouden.
Deze tabel ken je uit je hoofd — zonder hem kun je geen enkele opgave van K.3 exact afmaken.

$x$	$arcsin (x)$
$- 1$	$- \frac{1}{2} π$
$- \frac{1}{2} 3$	$- \frac{1}{3} π$
$- \frac{1}{2} 2$	$- \frac{1}{4} π$
$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{6} π$
$0$	$0$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6} π$
$\frac{1}{2} 2$	$\frac{1}{4} π$
$\frac{1}{2} 3$	$\frac{1}{3} π$
$1$	$\frac{1}{2} π$

Ook $arcsin$ is oneven: $arcsin (- x) = - arcsin (x)$ .

Test jezelf

Welke route pak je?

$\int \frac{3}{x ^{2} + 3} d x$
$\int \frac{3}{x ^{2} + 4 x + 5} d x$
$\int \frac{x}{x ^{4} + 1} d x$
$\int \frac{1}{1 - 4 x ^{2}} d x$
$\int \frac{a r c s i n ( x )}{1 - x ^{2}} d x$
$\int arcsin (x) d x$

Twijfel je tussen route 2 en 3? Kijk alleen naar de losse $x$ -term in de noemer: wél een $x$ -term is kwadraatafsplitsen.

K.3 – Cyclometrische functies

Stap 0 · Kijk naar de noemer

Deel 2 · Bereken de integraal

Route 1 · De noemer is precies $x^{2} + 1$

Route 2 · Noemer $p x^{2} + q$ , geen losse $x$ -term

Route 3 · Noemer $x^{2} + p x + q$ , wél een losse $x$ -term

Route 4 · De teller is de afgeleide van het gekwadrateerde

Route 4b · In de teller staat $arctan$ of $arcsin$ zelf

Route 5 · Onder de wortel staat $1 - \dots^{2}$ , teller is een getal

Route 6 · De teller is de afgeleide van wat onder de wortel staat

Route 7 · $arctan$ of $arcsin$ staat er kaal

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

Er staat een verhaaltje in plaats van een kale integraal

Naslag

De twee standaardintegralen waar alles op terugkomt

Exacte waarden van $arctan$

Exacte waarden van $arcsin$

Test jezelf

Welke route pak je bij deze zes?

K.3 – Cyclometrische functies

Stap 0 · Kijk naar de noemer

Deel 2 · Bereken de integraal

Route 1 · De noemer is precies x2+1

Route 2 · Noemer px2+q, geen losse x-term

Route 3 · Noemer x2+px+q, wél een losse x-term

Route 4 · De teller is de afgeleide van het gekwadrateerde

Route 4b · In de teller staat arctan of arcsin zelf

Route 5 · Onder de wortel staat 1−…2, teller is een getal

Route 6 · De teller is de afgeleide van wat onder de wortel staat

Route 7 · arctan of arcsin staat er kaal

Deel 1 en 3 · Van verhaaltje naar antwoord

Er staat een verhaaltje in plaats van een kale integraal

Naslag

De twee standaardintegralen waar alles op terugkomt

Exacte waarden van arctan

Exacte waarden van arcsin

Test jezelf

Welke route pak je bij deze zes?

Route 1 · De noemer is precies $x^{2} + 1$

Route 2 · Noemer $p x^{2} + q$ , geen losse $x$ -term

Route 3 · Noemer $x^{2} + p x + q$ , wél een losse $x$ -term

Route 4b · In de teller staat $arctan$ of $arcsin$ zelf

Route 5 · Onder de wortel staat $1 - \dots^{2}$ , teller is een getal

Route 7 · $arctan$ of $arcsin$ staat er kaal

Exacte waarden van $arctan$

Exacte waarden van $arcsin$